两点三次 Hermite 插值

基函数

采用基函数方法，令

\[H_3(x)=\alpha_k(x)y_k+\alpha_{k+1}(x)y_{k+1}+\beta_k(x)m_k+\beta_{k+1}(x)m_{k+1}\]

其中 \(\alpha_k(x),\alpha_{k+1}(x),\beta_k(x),\beta_{k+1}(x)\) 是关于点 \(x_k\) 及 \(x_{k+1}\) 的三次 Hermite 插值基函数，它们应分别满足以下条件:

\[\begin{array}{lll} \alpha _k(x_k)=1 & \alpha _k(x_{k+1})=0 & \alpha _k'(x_k)=\alpha '_k(x_{k+1})=0 \\ \alpha _{k+1}(x_k)=0 & \alpha _{k+1}(x_{k+1})=1 & \alpha' _{k+1}(x_k)=\alpha '_{k+1}(x_{k+1})=0 \\ \beta_k(x_k)=\beta_k(x_{k+1})=0 & \beta'_k(x_k)=1 & \beta'_k(x_{k+1})=0 \\ \beta_{k+1}(x_k)=\beta_{k+1}(x_{k+1})=0 & \beta'_{k+1}(x_k)=0 & \beta'_{k+1}(x_{k+1})=1 \end{array}\]

解得基函数，那么有

\[H_3(x)=\left(1+2\dfrac{x-x_k}{x_{k+1}-x_k}\right)\left(\dfrac{x-x_{k+1}}{x_k-x_{k+1}}\right)^2y_k+\left(1+2\dfrac{x-x_{k+1}}{x_k-x_{k+1}}\right)\left(\dfrac{x-x_k}{x_{k+1}-x_k}\right)^2y_{k+1}+(x-x_k)\left(\dfrac{x-x_{k+1}}{x_k-x_{k+1}}\right)^2m_k+(x-x_{k+1})\left(\dfrac{x-x_k}{x_{k+1}-x_k}\right)^2m_{k+1}.\]

例题 1

若函数 \(f(x)\text{ 在 }[a,b]\) 上三阶可导，且 \(f(a)=c,f(b)=d,f'(a)=e,f'(b)=f\)，则 \(\exists\xi\in(a,b)\)，使得 \[f'''(\xi)=6\dfrac{f(b-a)-2(d-c)+e(b-a)}{(b-a)^3}.\]

解答

作三次 Hermite 插值多项式:

\[H_3(x)=c+e(x-a)+\dfrac{(d-c)-e(b-a)}{(b-a)^2}(x-a)^2+\dfrac{f(b-a)-2(d-c)+e(b-a)}{(b-a)^3}(x-a)^2(x-b)\]

则 \(H_3(x)\) 与 \(f(x)\) 在 \(a,b\) 两点有相同的函数值与导数值，设 \(F(x)=f(x)-H_3(x)\)，则 \(F(a)=F(b)=0\)，由 Rolle 定理，\(\exists\xi_1\in(a,b)\)，使得 \(F'(\xi_1)=0\)， 由于

\[F'(x)=f'(x)-H_3'(x)=f'(x)+e+2\dfrac{(d-c)-e(b-a)}{(b-a)^2}(x-a)+\dfrac{f(b-a)-2(d-c)+e(b-a)}{(b-a)^3}\left[2(x-a)(x-b)+(x-a)^2\right]\]

则 \(F'(a)=F'(b)=0\)，在 \([a,\xi_1]\) 和 \([\xi_1,b]\) 上应用 Rolle 定理，则 \(\exists\xi_2\in(a,\xi_1),\xi_3\in(\xi_1,b)\)，使得

\[F''(\xi_2)=F''(\xi_3)=0\]

最后在 \([\xi_2,\xi_3]\) 上应用 Rolle 定理，即 \(\exists\xi\in(\xi_2,\xi_3)\)，使得 \(F'''(\xi)=0\)，即得证.

例题 2

设函数 \(f\in C[0,1]\cap D^3(0,1),~f(0)=2,~f(1)=1,~f'(0)=0,~f'(1)=4\) 证明: 存在一点 \(\xi\in(0,1)\) 使得 \(f'''(\xi)=24+24\xi.\)

解答

令 \(g(x)=f(x)-x^4\)，则 \(g\in C[0,1]\cap D^3(0,1)\) 那么 \(\begin{cases} x_k=0 , & x_{k+1}=1 \\ y_k=2 , & y_{k+1}=0 \\ m_k=0 , & m_{k+1}=0 \end{cases}\)，因此

\[H_3(x)=2(1+x)(x-1)^2=4x^3-6x^2+2\]

构造 \(F(x)=g(x)-H_3(x)\) 有 \(F(0)=F(1)=0\)，由 Rolle 定理 \(\exists\xi_1\in(0,1)\) 使得 \(F'(\xi_1)=0\)， 又 \(F'(0)=F'(\xi_1)=F'(1)=0\)，由 Rolle 定理得 \(\exists \xi_2\in(0,\xi_1),\xi_3\in(\xi_1,1)\) 使得 \(F''(\xi_i)=0,i=2,3\)， 再根据 Rolle 定理得 \(\exists\xi\in(\xi_2,\xi_3)\subset(0,1)\) 使得 \(F'''(\xi)=0\) 即

\[f'''(\xi)-4!\xi-24=0\Rightarrow f'''(\xi)=24\xi+24.\]