Hesse 矩阵与极值定理

定理

设 \(P_{0}\) 为稳定点，若在 \(P_{0}\) 处 Hesse 矩阵 \[\vb*{H}(P_0)=\mqty(f_{x_{1} x_{1}}^{\prime \prime} & f_{x_{1} x_{2}}^{\prime \prime} & \cdots & f_{x_{1} x_{n}}^{\prime \prime} \\f_{x_{2} x_{1}}^{\prime \prime} & f_{x_{2} x_{2}}^{\prime \prime} & \cdots & f_{x_{2} x_{n}}^{\prime \prime} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ f_{x_{n} x_{1}}^{\prime \prime} & f_{x_{n} x_{2}}^{\prime \prime} & \cdots & f_{x_{n} x_{n}}^{\prime \prime})\] 为正定的，则 \(f\) 在 \(P_{0}\) 处取极小值; 若 \(\boldsymbol{H}\left(P_{0}\right)\) 为负定的，则 \(f\) 在 \(P_{0}\) 处取极大值; 若 \(\boldsymbol{H}\left(P_{0}\right)\) 为不定的, 则 \(f\) 在 \(P_{0}\) 处无极值.

例题 1

求函数 \(f(x,y)=x^4+y^4-(x+y)^2\) 的极值.

解答

令 \(\begin{cases} f_x'(x,y)=4x^3-2(x+y)=0\\ f_y'(x,y)=4y^3-2(x+y)=0 \end{cases}\) 解得驻点 \(P_1(0,0),~P_2(1,1),~P_3(-1,-1)\)，又 \[\displaystyle \pdv[2]{f}{x}=12x^2-2,~\pdv[2]{f}{y}=12y^2-2,~\pdv{f}{x}{y}=-2,~\pdv{f}{y}{x}=-2\] 由 Hesse 矩阵 \(\vb*{H}(P_1)=\mqty(-2&-2\\-2&-2),~\vb*{H}(P_2)=\mqty(10&-2\\-2&10),~\vb*{H}(P_3)=\mqty(10&-2\\-2&10)\) 且 \(\vb*{H}(P_1)\) 不定，故 \((0,0)\) 不是极值点; \(\vb*{H}(P_2)\) 正定，故 \((1,1)\) 为极小值点; \(\vb*{H}(P_3)\) 正定，故 \((-1,-1)\) 为极小值点， 综上，\(f\) 的极小值为 \(f(1,1)=f(-1,-1)=-2.\)

例题 2

设 \(z=z(x,y)\) 是由 \(x^2-6xy+10y^2-2yz-z^2+18=0\) 确定的函数，求 \(z=z(x,y)\) 的极值点与极值.

解答

在 \(x^2-6xy+10y^2-2yz-z^2+18=0\) 两边对 \(x,~y\) 求偏导，得 \(\begin{cases} \displaystyle 2x-6y-2y\pdv{z}{x}-2z\pdv{z}{x}=0\\ \displaystyle -6x+20y-2z-2y\pdv{z}{y}-2z\pdv{z}{y}=0 \end{cases}\) 令 \(\begin{cases} z'_x=0\\ z'_y=0 \end{cases}\)，得 \(\begin{cases} x=3y\\ z=y \end{cases}\) 代入 \(x^2-6xy+10y^2-2yz-z^2+18=0\) 得 \(\begin{cases} x=9\\ y=3 \\ z=3 \end{cases}\text{或 } \begin{cases} x=-9\\ y=-3 \\ z=-3 \end{cases}\) 并且 \[\begin{align*} 0=&2-2y\pdv[2]{z}{x}-2\qty(\pdv{z}{x})^2-2z\pdv[2]{z}{x} \\ 0=&-6-2\pdv{z}{x}-2y\pdv{z}{x}{y}-2\pdv{z}{y}\pdv{z}{x}-2z\pdv{z}{x}{y}\\ 0=&20-2\pdv{z}{y}-2\pdv{z}{y}-2y\pdv[2]{z}{y}-2\qty(\pdv{z}{y})^2-2z\pdv[2]{z}{y} \end{align*}\] 于是 \(\vb*{H}(P_1)=\eval{\mqty(z''_{xx}&z''_{xy}\\z''_{yx}&z''_{yy})}_{(9,3,3)}=\mqty(\dfrac{1}{6}&-\dfrac{1}{2}\\[6pt]-\dfrac{1}{2}&\dfrac{5}{3})\) 正定，故点 \((9,3)\) 是 \(z(x,y)\) 的极小值点，极小值为 \(z(9,3)=3\)， 同理可得 \(\vb*{H}(P_2)=\mqty(-\dfrac{1}{6}&\dfrac{1}{2}\\[6pt]\dfrac{1}{2}&-\dfrac{5}{3})\) 负定，从而点 \((-9,-3)\) 是 \(z(x,y)\) 的极大值点，极大值为 \(z(-9,-3)=-3.\)

例题 3

求函数 \(f(x,y)=x\mathrm{e}^{-\frac{x^2+y^2}{2}}\) 的极值.

解答：法一

令 \(\begin{cases} f_x'(x,y)=\mathrm{e}^{-\frac{x^2+y^2}{2}}-x^2\mathrm{e}^{-\frac{x^2+y^2}{2}}=0\\[6pt] f_y'(x,y)=-xy \mathrm{e}^{-\frac{x^2+y^2}{2}}=0 \end{cases}\) 解得驻点 \(P_1(1,0),~P_2(-1,0)\)，且 \[\pdv[2]{f}{x}=-3x\mathrm{e}^{-\frac{x^2+y^2}{2}}+x^3\mathrm{e}^{-\frac{x^2+y^2}{2}},~\pdv[2]{f}{y}=-x\mathrm{e}^{-\frac{x^2+y^2}{2}}+xy^2\mathrm{e}^{-\frac{x^2+y^2}{2}},~\pdv{f}{x}{y}=-y\mathrm{e}^{-\frac{x^2+y^2}{2}}+x^2y\mathrm{e}^{-\frac{x^2+y^2}{2}}=\pdv{f}{y}{x}\] 由 Hesse 矩阵 \(\vb*{H}(P_1)=\mqty(-2\mathrm{e}^{-\frac{1}{2}}&0\\0&-\mathrm{e}^{-\frac{1}{2}}),~\vb*{H}(P_2)=\mqty(2\mathrm{e}^{-\frac{1}{2}}&0\\0&\mathrm{e}^{-\frac{1}{2}})\)，\(\vb*{H}(P_1)\) 负定，故 \((1,0)\) 为极大值点; \(\vb*{H}(P_2)\) 正定，故 \((-1,0)\) 为极大值点， 因此 \(f\) 的极大值为 \(f(1,0)=\mathrm{e}^{-\frac{1}{2}}\); 极小值为 \(f(-1,0)=-\mathrm{e}^{-\frac{1}{2}}\).

解答：法二

在驻点 \((1,0)\) 处， \[A=\left.\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}\right|_{(1,0)}=-2 \mathrm{e}^{-\frac{1}{2}},~ B=\left.\frac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y}\right|_{(1,0)}=0,~ C=\left.\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}\right|_{(1,0)}=-\mathrm{e}^{-\frac{1}{2}} \] 由于 \(A C-B^{2}=2 \mathrm{e}^{-1}>0\)，且 \(A<0\)，故 \((1,0)\) 为极大值点，$f(1,0)=^{-} $ 为极大值; 在驻点 \((-1,0)\) 处， \[A=\left.\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}\right|_{(-1,0)}=2 \mathrm{e}^{-\frac{1}{2}},~ B=\left.\frac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y}\right|_{(-1,0)}=0,~ C=\left.\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}\right|_{(-1,0)}=\mathrm{e}^{-\frac{1}{2}}\] 由于 \(A C-B^{2}=2 \mathrm{e}^{-1}>0, A>0\)，故 \((-1,0)\) 为极小值点， \(f(-1,0)=-\mathrm{e}^{-\frac{1}{2}}\) 为极小值.

例题 4

已知函数 \(f(x,y)\) 满足 \(f''_{xy}(x,y)=2(y+1)\mathrm{e}^x,~f'_x(x,0)=(x+1)\mathrm{e}^x,~f(0,y)=y^2+2y\)，求 \(f(x,y)\) 的极值.

解答

方程 \(f''_{xy}(x,y)=2(y+1)\mathrm{e}^x\) 两边对 \(y\) 求积分，得 \(f'_x=\mathrm{e}^x(y+1)^2+\varphi(x)\)，并令 \(y=0\)，与 \(f'_x(x,0)=(x+1)\mathrm{e}^x\) 对比得 \(\varphi(x)=x\mathrm{e}^x\)，那么 \(f'_x(x,y)=\mathrm{e}^x(y+1)^2+x\mathrm{e}^x\)，两边再对 \(x\) 求积分，得 \[f(x,y)=(y+1)^2\mathrm{e}^x+(x-1)\mathrm{e}^x+\psi(y)\] 又 \(f(0,y)=y^2+2y\)，得 \(\psi(y)=0\)，则 \(f(x,y)=(y+1)^2\mathrm{e}^x+(x-1)\mathrm{e}^x\)， 因此 \(\begin{cases} f'_x=(y+1)^2\mathrm{e}^x+x\mathrm{e}^x=0\\ f'_y=2(y+1)\mathrm{e}^x=0 \end{cases}\) 得 \(x=0,~y=-1\)，且 \(f''_{xx}=(y+1)^2\mathrm{e}^x+(x+1)\mathrm{e}^x,~f''_{xy}=2(y+1)\mathrm{e}^x,~f''_{yy}=2\)，则 \(\vb*{H}(0,-1)=\eval{\mqty(z''_{xx}&z''_{xy}\\z''_{yx}&z''_{yy})}_{(0,-1)}\) 正定，于是 \(f(x,y)\) 在 \((0,-1)\) 处取得极小值，\(f(0,-1)=-1.\)

例题 5

求函数 \(f(x,y)=\qty(y-x^2)\qty(y-x^3)\) 的极值.

解答

令 \(\begin{cases} f_x'(x,y)=5x^4-3x^2y-2xy=0 \\ f_y'(x,y)=2y-x^3-x^2=0 \end{cases}\) 解得驻点为 \(P_1(0,0),~P_2(1,1),~P_3\qty(\dfrac{2}{3},\dfrac{10}{27})\)，且 \[\pdv[2]{f}{x}=20x^3-6xy-2y,~\pdv[2]{f}{y}=2,~\pdv{f}{x}{y}=-3x^2-2x=\pdv{f}{y}{x}\] 由 Hesse 矩阵得 \(\vb*{H}(P_1)=\mqty(0&0\\0&2)\) 为不定，故 \((0,0)\) 非极值点; \(\vb*{H}(P_2)=\mqty(12&-5\\-5&2)\) 为不定，故 \((1,1)\) 非极值点; \(\vb*{H}(P_3)=\mqty(\dfrac{100}{27}&-\dfrac{8}{3}\\[6pt]-\dfrac{8}{3}&2)\) 为正定，故 \(\qty(\dfrac{2}{3},\dfrac{10}{27})\) 为极小值点，且 函数的极小值为 \(f\qty(\dfrac{2}{3},\dfrac{10}{27})=-\dfrac{4}{27^2}.\)