不定积分形式待定法

定理

情况一：

对于 \(\displaystyle\int\frac{f(x)}{g^2(x)}\dd x\) 型，存在 \(h(x)\)，使得 \[\displaystyle\int\frac{f(x)}{g^2(x)}\dd x=\frac{h(x)}{g(x)}+C\] 其中 \(f(x)=h'(x)g(x)-h(x)g'(x)\)，\(h(x)\) 要通过具体的等式结构另求出.

情况二：

对于 \(\displaystyle\int f(x)\mathrm{e}^{g(x)}\dd x\) 型，存在 \(h(x)\)，使得 \[\displaystyle\int f(x)\mathrm{e}^{g(x)}\dd x=h(x)\mathrm{e}^{g(x)}+C\] 其中 \(f(x)=h'(x)+h(x)g'(x)\)，同样 \(h(x)\) 要通过具体的等式结构另求出.

例题 1

求不定积分 \(\displaystyle\int\frac{\mathrm{e}^{-\sin x}\cdot\sin 2x}{(1-\sin x)^2}\dd x.\)

解答

令 \(\displaystyle f(x)=\mathrm{e}^{-\sin x}\cdot\sin 2x,~g(x)=1-\sin x\)，由 \[f(x)=h'(x)g(x)-h(x)g'(x)=h'(x)-h'(x)\sin x+h(x)\cos x\] 设 \(h(x)=A\mathrm{e}^{-\sin x}\)，那么 \(h'(x)=-A\cos x\mathrm{e}^{-\sin x}\)，所以 \[h'(x)-h'(x)\sin x+h(x)\cos x=A\sin x\cos x\mathrm{e}^{-\sin x}=\frac{A}{2}\sin 2x\mathrm{e}^{-\sin x}=\mathrm{e}^{-\sin x}\sin 2x\] 解得 \(A=2\)，所以 \(h(x)=2\mathrm{e}^{-\sin x}.\) \[\begin{align*} \text{原式} & =\int\frac{2\sin x\cos x\mathrm{e}^{-\sin x}}{(1-\sin x)^2}\dd x=\int\frac{2\mathrm{e}^{-\sin x}(-\cos x)(1-\sin x)+2\cos x\mathrm{e}^{-\sin x}}{(1-\sin x)^2}\dd x \\ & =\int\frac{h'(x)(1-\sin x)-(1-\sin x)'h(x)}{(1-\sin x)^2}\dd x=\int\dd (\frac{h(x)}{1-\sin x})=\frac{2\mathrm{e}^{-\sin x}}{1-\sin x}+C. \end{align*}\]

例题 2

\(\displaystyle\int\frac{x^2\dd x}{(x\sin x+\cos x)^2}.\)

解答：法一

注意到 \(1=\sin^2x+\cos^2x\)，所以 \[\begin{align*} \text{原式} & =\int\frac{x^2\left(\sin^2x+\cos^2x\right)\dd x}{(x\sin x+\cos x)^2} =\int \dfrac{x^{2}\cos ^{2}x-x\sin x\cos x}{\left( x\sin x+\cos x\right) ^{2}}\dd x+\int \dfrac{x^{2}\sin ^{2}x+x\sin x\cos x}{\left( x\sin x+\cos x\right) ^{2}}\dd x \\ & =\int \dfrac{x\cos x\left( x\cos x-\sin x\right) }{\left( x\sin x+\cos x\right) ^{2}}\dd x+\int \dfrac{x\sin x\dd x}{x\sin x+\cos x} \\ & =\int \left( \sin x-x\cos x\right) \dd ( \dfrac{1}{x\sin x+\cos x}) +\int \dfrac{x\sin xdx}{x\sin x+\cos x} \\ & =\dfrac{\sin x-x\cos x}{x\sin x+\cos x}-\int \dfrac{x\sin x\dd x}{x\sin x+\cos x}+\int \dfrac{x\sin x\dd x}{x\sin x+\cos x}=\dfrac{\sin x-x\cos x}{x\sin x+\cos x}+C. \end{align*}\]

解答：法二

令 \(f(x)=x^2,~g(x)=x\sin x+\cos x\)，由 \[f(x)=h'(x)g(x)-h(x)g'(x)=h'(x)(x\sin x+\cos x)-h(x)x\cos x=x^2=x^2\left(\sin^2x+\cos^2x\right)\] 设 \(h(x)=Ax^a\sin x+Bx^b\cos x\)，那么 \(h'(x)=A_{a}x^{a-1}\sin x+Ax^{a}\cos x+Bbx^{b-1}\cos x-Bx^{b}\sin x\)， 代入上式，对比系数得 \(A=1,a=0,B=-1,b=1\)，于是 \(h(x)=\sin x-x\cos x\)， \[\begin{align*} \text{原式} & =\int\frac{x^2\sin^2x+x^2\cos^2x}{(x\sin x+\cos x)^2}\dd x=\int\frac{x\sin x(x\sin x+\cos x)-x\cos x(\sin x-x\cos x)}{(x\sin x+\cos x)^2}\dd x \\ & =\int\frac{h'(x)(x\sin x+\cos x)-h(x)\cdot\left(x\sin x+\cos x\right)'}{(x\sin x+\cos x)^2}\dd x=\int\dd (\frac{h(x)}{x\sin x+\cos x}) =\frac{\sin x-x\cos x}{x\sin x+\cos x}+C. \end{align*}\]

例题 3

\(\displaystyle\int\dfrac{x^2+6}{(x\cos x-3\sin x)^2}\dd x.\)

解答：法一

令 \(f(x)=x^2+6,~g(x)=x\cos x-3\sin x\)，由 \[\begin{align*} f(x)=h'(x)g(x)-h(x)g'(x) & =h'(x)(x\cos x-3\sin x)+h(x)(x\sin x+2\cos x) \\ (x^2+6)\qty(\sin^2x+\cos^2x) & =h'(x)(x\cos x-3\sin x)+h(x)(x\sin x+2\cos x) \end{align*}\] 可知，\(h(x)\) 中存在 \(x\sin x\) 项和 \(3\cos x\); \(h'(x)\) 中存在 \(x\cos x\) 项和 \(-2\sin x\)，于是不妨取 \(h(x)=x\sin x+3\cos x\)， 故原积分等于 \(\dfrac{x\sin x+3\cos x}{x\cos x-3\sin x}+C\)，经检验该函数是原积分的原函数.

解答：法二

运用 \(\sin^2x+\cos^2x=1\)，则有 \[\begin{align*} I & =\int\dfrac{\qty(x^2+6)\qty(\sin^2x+\cos^2x)}{(x\cos x-3\sin x)^2}\dd x=\int\begin{vmatrix} x & 3 \\-2&x \end{vmatrix}\begin{vmatrix} \cos x&\sin x\\-\sin x&\cos x \end{vmatrix}\dfrac{\dd x}{(x\cos x-3\sin x)^2}\\ & =\int\begin{vmatrix} x\cos x-3\sin x & x\sin x+3\cos x \\-2\cos x-x\sin x&-2\sin x+x\cos x \end{vmatrix}\dfrac{\dd x}{(x\cos x-3\sin x)^2}\\ & =\int\dfrac{-2\sin x+x\cos x}{x\cos x-3\sin x}\dd x+\int\dfrac{(x\sin x+3\cos x)(2\cos x+\sin x)}{(x\cos x-3\sin x)^2}\dd x \end{align*}\] 注意到 \(\displaystyle\dv{x}(x\cos x-3\sin x)=-(2\cos x+x\sin x)\)，故可对上式第二个积分利用分部积分公式，得 \[\begin{align*} I_1 & =\int\dfrac{(x\sin x+3\cos x)(2\cos x+\sin x)}{(x\cos x-3\sin x)^2}\dd x=\int(x\sin x+3\cos x)\dd (\dfrac{1}{x\cos x-3\sin x}) \\ & =\dfrac{x\sin x+3\cos x}{x\cos x-3\sin x}-\int\dfrac{\dd(x\sin x+3\cos x)}{x\cos x-3\sin x}=\dfrac{x\sin x+3\cos x}{x\cos x-3\sin x}-\int\dfrac{x\cos x-2\sin x}{x\cos x-3\sin x}\dd x \end{align*}\] 所以 \(\displaystyle I=\int\dfrac{x\cos x-2\sin x}{x\cos x-3\sin x}+I_1=\dfrac{x\sin x+3\cos x}{x\cos x-3\sin x}+C.\)