常见的空间曲面及其对应的方程

曲面名称	图例	直角坐标系方程	参数方程
椭球面		\(\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}+\dfrac{z^2}{c^2}=1\)	\(\begin{cases}x=a\sin u\cos v\\y=\sin u\sin v\\z=c\cos u\\u\in[0,\pi],v\in[0,2\pi]\end{cases}\)
椭圆锥面		\(\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=z^2\)	\(\begin{cases}x=av\cos u\\y=bv\sin u\\z=cv\\u\in[0,2\pi],v\in\mathbb{R}\end{cases}\)
椭圆抛物面		\(\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=z\)	\(\begin{cases}x=av\cos u\\y=bv\sin u\\z=u^2\\u\in[0,2\pi],v\in[0,+\infty)\end{cases}\)
双曲抛物面		\(\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=z\)	\(\begin{cases}x=a(u+v)\\y=b(u-v)\\z=4uv\\u,v\in\mathbb{R}\end{cases}\)
单叶双曲面		\(\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}-\dfrac{z^2}{c^2}=1\)	\(\begin{cases}x=a\cosh u\cos v\\y=b\cosh u\sin v\\z=c\sinh u\\u\in\mathbb{R},v\in[0,2\pi]\\\end{cases}\)
双叶双曲面		\(\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}-\dfrac{z^2}{c^2}=-1\)	\(\begin{cases}x=a\sqrt{u^2-1}\cos v\\y=b\sqrt{u^2-1}\sin v\\z=cu\\u\in(-\infty,-1]\cup[1,+\infty),v\in\mathbb{R}\end{cases}\)