Hesse 矩阵与极值定理

定理

设 $P_0$ 为稳定点，若在 $P_0$ 处 Hesse 矩阵

为正定的，则 $f$ 在 $P_0$ 处取极小值; 若 $\mathit{H}\left(P_0\right)$ 为负定的，则 $f$ 在 $P_0$ 处取极大值;
若 $\mathit{H}\left(P_0\right)$ 为不定的, 则 $f$ 在 $P_0$ 处无极值.

例题 1

求函数 $f(x,y)=x^4+y^4-(x+y{)}^2$ 的极值.

解答

令 $\{\begin{array}{l}{f}_x^{\prime }(x,y)=4x^3-2(x+y)=0\\ f_y^{\prime }(x,y)=4y^3-2(x+y)=0\end{array}$ 解得驻点 $P_1(0,0),P_2(1,1),P_3(-1,-1)$ ，又

$${\displaystyle \text{pdv}[2]fx=12x^2-2,\text{pdv}[2]fy=12y^2-2,\text{pdv}fxy=-2,\text{pdv}fyx=-2}$$

由 Hesse 矩阵 且 $\text{vb}\ast H(P_1)$ 不定，故 $(0,0)$ 不是极值点;
$\text{vb}\ast H(P_2)$ 正定，故 $(1,1)$ 为极小值点; $\text{vb}\ast H(P_3)$ 正定，故 $(-1,-1)$ 为极小值点，
综上， $f$ 的极小值为 $f(1,1)=f(-1,-1)=-2.$

例题 2

设 $z=z(x,y)$ 是由 $x^2-6xy+10y^2-2yz-z^2+18=0$ 确定的函数，求 $z=z(x,y)$ 的极值点与极值.

解答

在 $x^2-6xy+10y^2-2yz-z^2+18=0$ 两边对 $x,y$ 求偏导，得 $\{\begin{array}{l}{\displaystyle 2x-6y-2y\text{pdv}zx-2z\text{pdv}zx=0}\\ {\displaystyle -6x+20y-2z-2y\text{pdv}zy-2z\text{pdv}zy=0}\end{array}$ 令 $\{\begin{array}{l}{z}_x^{\prime }=0\\ z_y^{\prime }=0\end{array}$ ，得 $\{\begin{array}{l}x=3y\\ z=y\end{array}$ 代入 $x^2-6xy+10y^2-2yz-z^2+18=0$ 得 $\{\begin{array}{l}x=9\\ y=3\\ z=3\end{array}\text{或 }\{\begin{array}{l}x=-9\\ y=-3\\ z=-3\end{array}$ 并且

$$\begin{array}{rl}0=& 2-2y\text{pdv}[2]zx-2\text{qty}(\text{pdv}zx{)}^2-2z\text{pdv}[2]zx\\ 0=& -6-2\text{pdv}zx-2y\text{pdv}zxy-2\text{pdv}zy\text{pdv}zx-2z\text{pdv}zxy\\ 0=& 20-2\text{pdv}zy-2\text{pdv}zy-2y\text{pdv}[2]zy-2\text{qty}(\text{pdv}zy{)}^2-2z\text{pdv}[2]zy\end{array}$$

于是 正定，故点 $(9,3)$ 是 $z(x,y)$ 的极小值点，极小值为 $z(9,3)=3$ ，
同理可得 负定，从而点 $(-9,-3)$ 是 $z(x,y)$ 的极大值点，极大值为 $z(-9,-3)=-3.$

例题 3

求函数 $f(x,y)=x{\mathrm{e}}^{-\frac{x^2+y^2}{2}}$ 的极值.

解答：法一

令 $\{\begin{array}{l}{f}_x^{\prime }(x,y)={\mathrm{e}}^{-\frac{x^2+y^2}{2}}-x^2{\mathrm{e}}^{-\frac{x^2+y^2}{2}}=0\\ f_y^{\prime }(x,y)=-xy{\mathrm{e}}^{-\frac{x^2+y^2}{2}}=0\end{array}$ 解得驻点 $P_1(1,0),P_2(-1,0)$ ，且

$$\text{pdv}[2]fx=-3x{\mathrm{e}}^{-\frac{x^2+y^2}{2}}+x^3{\mathrm{e}}^{-\frac{x^2+y^2}{2}},\text{pdv}[2]fy=-x{\mathrm{e}}^{-\frac{x^2+y^2}{2}}+x{y}^2{\mathrm{e}}^{-\frac{x^2+y^2}{2}},\text{pdv}fxy=-y{\mathrm{e}}^{-\frac{x^2+y^2}{2}}+x^{2}y{\mathrm{e}}^{-\frac{x^2+y^2}{2}}=\text{pdv}fyx$$

由 Hesse 矩阵 ， $\text{vb}\ast H(P_1)$ 负定，故 $(1,0)$ 为极大值点; $\text{vb}\ast H(P_2)$ 正定，故 $(-1,0)$ 为极大值点，
因此 $f$ 的极大值为 $f(1,0)={\mathrm{e}}^{-\frac{1}{2}}$ ; 极小值为 $f(-1,0)=-{\mathrm{e}}^{-\frac{1}{2}}$ .

解答：法二

在驻点 $(1,0)$ 处，

$$A={\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}|}_{(1,0)}=-2{\mathrm{e}}^{-\frac{1}{2}},B={\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x\partial y}|}_{(1,0)}=0,C={\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y^2}|}_{(1,0)}=-{\mathrm{e}}^{-\frac{1}{2}}$$

由于 $AC-B^2=2{\mathrm{e}}^{-1}>0$ ，且 $A<0$ ，故 $(1,0)$ 为极大值点，$f(1,0)=\mathrm{e}^{-\frac{1}{2}} $ 为极大值; 在驻点 $(-1,0)$ 处，

$$A={\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}|}_{(-1,0)}=2{\mathrm{e}}^{-\frac{1}{2}},B={\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x\partial y}|}_{(-1,0)}=0,C={\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y^2}|}_{(-1,0)}={\mathrm{e}}^{-\frac{1}{2}}$$

由于 $AC-B^2=2{\mathrm{e}}^{-1}>0,A>0$ ，故 $(-1,0)$ 为极小值点， $f(-1,0)=-{\mathrm{e}}^{-\frac{1}{2}}$ 为极小值.

例题 4

已知函数 $f(x,y)$ 满足 $f_{xy}^{″}(x,y)=2(y+1){\mathrm{e}}^x,f_x^{\prime }(x,0)=(x+1){\mathrm{e}}^x,f(0,y)=y^2+2y$ ，求 $f(x,y)$ 的极值.

解答

方程 $f_{xy}^{″}(x,y)=2(y+1){\mathrm{e}}^x$ 两边对 $y$ 求积分，得 $f_x^{\prime }={\mathrm{e}}^x(y+1{)}^2+\phi (x)$ ，并令 $y=0$ ，与 $f_x^{\prime }(x,0)=(x+1){\mathrm{e}}^x$ 对比得 $\phi (x)=x{\mathrm{e}}^x$ ，那么
$f_x^{\prime }(x,y)={\mathrm{e}}^x(y+1{)}^2+x{\mathrm{e}}^x$ ，两边再对 $x$ 求积分，得

$$f(x,y)=(y+1{)}^2{\mathrm{e}}^x+(x-1){\mathrm{e}}^x+\psi (y)$$

又 $f(0,y)=y^2+2y$ ，得 $\psi (y)=0$ ，则 $f(x,y)=(y+1{)}^2{\mathrm{e}}^x+(x-1){\mathrm{e}}^x$ ，
因此 $\{\begin{array}{l}{f}_x^{\prime }=(y+1{)}^2{\mathrm{e}}^x+x{\mathrm{e}}^x=0\\ f_y^{\prime }=2(y+1){\mathrm{e}}^x=0\end{array}$ 得 $x=0,y=-1$ ，且 $f_{xx}^{″}=(y+1{)}^2{\mathrm{e}}^x+(x+1){\mathrm{e}}^x,f_{xy}^{″}=2(y+1){\mathrm{e}}^x,f_{yy}^{″}=2$ ，则 正定，于是 $f(x,y)$ 在 $(0,-1)$ 处取得极小值， $f(0,-1)=-1.$

例题 5

求函数 $f(x,y)=\text{qty}(y-x^2)\text{qty}(y-x^3)$ 的极值.

解答

令 $\{\begin{array}{l}{f}_x^{\prime }(x,y)=5x^4-3x^{2}y-2xy=0\\ f_y^{\prime }(x,y)=2y-x^3-x^2=0\end{array}$ 解得驻点为 $P_1(0,0),P_2(1,1),P_3\text{qty}({\displaystyle \frac{2}{3}},{\displaystyle \frac{10}{27}})$ ，且

$$\text{pdv}[2]fx=20x^3-6xy-2y,\text{pdv}[2]fy=2,\text{pdv}fxy=-3x^2-2x=\text{pdv}fyx$$

由 Hesse 矩阵得 为不定，故 $(0,0)$ 非极值点; 为不定，故 $(1,1)$ 非极值点; 为正定，故 $\text{qty}({\displaystyle \frac{2}{3}},{\displaystyle \frac{10}{27}})$ 为极小值点，且
函数的极小值为 $f\text{qty}({\displaystyle \frac{2}{3}},{\displaystyle \frac{10}{27}})=-{\displaystyle \frac{4}{{27}^2}}.$